Class 9th - Triangles on the same Base and between the same Parallels

अज इस वीडियो में हम जो टॉपिक पढ़ने वाले हैं वो है हमार��

ट्राइंगल्स ओन दा सेम बेस एंड बिट्विन दा सेम पैरलल्स तो देखिए इस चैप्टर में जैसा कि मैंने इंट्रोडक्शन पार्ट में बताया थ��

कि हम majorly यही चीजे cover करने वाले हैं कि कोई भी shape जो same base पे ह��

और same parallels के बीच में हो इसमें आपने parallelograms को previous वीडियो में देख��

जब parallelograms same base पे होते हैं और same parallels के बीच में होते है��

तो उनके area पे क्या effect पढ़ता है कि उन दोनों parallelograms का area equal होता ह��

अब हमारे पास हैं triangles तो 2 या 2 से ज़ादा triangle जिनका base same होग��

और same parallels के बीच में होगे तो उनके area पे क्या फर्क पड़ता ह��

ये हम समझेंगे आज इस वीडियो में ठीक है तो देखें ये हम समझ सकते है��

theorem से theorem हमारी 9.2 आप देखिए यहाँ पर दो फाहिदे होंगे एक तो आपको पता चल जाएगा कि जब दो या दो से जाद��

triangle same base और same parallel के बीच में हो तो उनके area पर क्या फर्क पड़ता ह��

and आप theorem 9.2 का प्रोव भी देख लेंगे जो कि exam में कहीं बार आ जाता ह��

ठीक तो देखें theorem 9.2 कहती है two triangles on the same base or equal bases and between the same parallels are equal in area

जैसा कि आपने parallelogram के case में देखा कि अगर दो या दो से ज़्यादा parallelogram same base पे हो same parallels India ह��

तो उनका area equal होता है वही case triangles के साथ भी है कि अगर दो या दो से ज़्यादा triangle अगर same base में है और same parallels के बीच में ह��

तो उनके area भी आपस में equal होंगे तो इसी का prove हम यहाँ पे देखेंग��

तो सबसे major बात थी कि इन दोनों triangles का area equal होग��

अगर यह same base और same parallel के बीच में है तो यह तो हमें समझ में आ गय��

अब इसका prove क्या है? देखे जब हमें इस चीज का प्रूफ देखना है तो सबसे पहले हम क्या consider करते हैं एक figure

जिसमें आपके पास AB and CD ये दो line से ये parallel है��

अब AB अगर हमारा base ले ले हम तो उस पर दो triangles बन रहे है��

एक तो ADB and ABC तो ये दोनो triangles इनका base है AB

ठीक अब इन दोनों triangles ये दोनों triangles हमारे same parallels के बीच में भी है��

तो यहाँ पे थोड़ा सा हमें construction करना है हमें क्या करना है कि जो आपक��

AD side है और BC side है ये दो side वाली sides है��

इन दोनों triangles की तो मैं BC के parallel एक line draw करूंगा and वो line

हमारी A से शुरू होगी and CD जो हमारी parallel line है AB के उसको meet करेगी E point प��

AE parallel BC parallel same AD side side parallel line draw line B point

ये जहां पे भी CD को meet करेंगे, उसको हम गोलेंगे F, तो BF हमारी parallel हो जाएगी AD के

तो अब हमारे पास इस तरीके से यहाँ पे दो lines हमने draw करी हैं AE and BF

जो की parallels है respectively BC and AD के ठीक, तो construction part इतना ही ह��

अब देखे, देखे हमारे पास जो ABFD है अगर मैं देखूं तो ABFD

यह जो हमारे पास figure है इसको आप ध्यान से देखिए, यहाँ पे आपका df जो है पैलल है a b क��

df पैलल क्यों है a b के, क्योंकि हमें by given part थ��

कि dc और a b parallel है, अब यह जो df है, यह dc का ही एक extended part ह��

तो अब्यस्सी बात है कि df और a b भी आपस में parallel होंग��

ठीक, अब bf पैलल है a d के, क्यों? क्योंकि BF और AD को हमने by construction parallel बनाया ह��

तो यहां हमें BF parallel मिल गया AD के अब आप जानते हैं कि जब भी किसी shape क��

दोनो opposite pair of sides आपस में parallel होते हैं तो वो क्या होता है? पैरललोग्रा��

तो यहां से हमें मिल गया that ABFD is a parallelogram same condition आपकी बनती है ABCE मे��

अब A, B, C, E में देखें यह है आपका A, B, C, E यह वाली figure अब A, B, C, E में भी यही case है कि A, B जो है वो C, E के parallel है क्योंकि C, E जो है वो D, C का ही extended part है D, C और A, B parallel थे तो इसी इसाब से E, C and A, B भी parallel होंग��

अगें जो हमारा by construction A E parallel था BC के यानि कि ये वाली side BC के parallel थ��

क्योंकि by construction हमने बनाया था तो यहाँ पे भी आपको pair of both opposite sides

वो है पैरलल है एक दूसरे के एंड फिर वही बात आ जाती ह��

कि जब both pairs of opposite sides parallel होते हैं तो वो figure क्या होती ह��

parallelogram तो हमें मिल गया कि A, B, C, E, B ही एक parallelogram ह��

अब यहां से हमें दो parallelograms मिल गए हैं ठीक अब देखे हमने theorem 9.1 मे��

क्या पढ़ा था मैंने आपको वीडियो के शुरू में बताया कि जब दो parallelograms

same base में हो और same parallels के बीच में हो तो उनका area क्या होता ह��

equal अब यहां पे जो parallelograms ABFD ABCE base AB lie line parallelograms AB and EF parallel lines it means parallelograms area equal area of ABFD

is equals to area of ABCE आप इसको equation number 1 मान लिज��

आप यहां पे लिख सकते हैं क्यों? by using theorem 9.1 and आप उसको quote भी कर सकते है��

कि area of parallelograms with the same base and between the same

parallels are equal ठीक, अब जब इन दोनो पैललोग्राम का एरिया हमें equal मिल गया ह��

बट हमें प्रूव क्या करना है कि इन दोनों ट्राइंगल का एरिया equal ह��

तो वो क्या करेंगा हम देखें जब आपके पास दो पैललोग्राम स��

सपोज आपके पास ये एक ABFD पैललोग्राम है तो ABFD यह रह��

यह आपको परल्लोग्राम है ठीक, अब मैं कहता हूँ कि BD हमारी एक डाइगनल ह��

तो किसी भी एक परल्लोग्राम में उसकी डाइगनल उस परल्लोग्राम को द��

congruent triangles में divide करती है यह आपने पढ़ा है, है न��

तो जब आपके इस diagonal ने इस parallelogram को दो congruent triangles में divide किय��

तो वहाँ से हमें क्या मिला कि triangle ABD यानि कि ये वाला triangle

आपका congruent हो गया इस triangle यानि कि BFD से ये दोनों congruent हो गय��

ठीक, same case आपका क्यूंकि parallelogram ABCE भी है, तो ABCE आपका ये रहा parallelogram

यहाँ पे भी आपके पास एक diagonal है वो है AC, तो AC diagonal भी इस parallelogram क��

दो equal triangles में, यानि कि congruent triangles में divide करेगी, तो यहां से आपको मिल गय��

triangle ABC is congruent to triangle CEA ठीक, अब ये दोनो triangles, मतलब दोन��

ये आपस में and ये आपस में congruent है आपको ये बात पता है, कि congruent triangles का area

equal होता है, क्यों? क्योंकि congruent figures कोई भी हो वो क्या होते है��

shape और size में बिल्कुल equal होते हैं और अगर वो shape and size मे��

बिल्कुल equal है तो उनके area भी equal होंगे तो हमें यहां से मिल गय��

कि यह जो दोनों हमें pairs मिले triangles के इनके area आपस में equal ह��

तो हमने देखा कि triangle ABD का area FBD के equal ह��

अब देखे, ABD जो है वो ये वाला triangle है है ना

and FBD आपका ये triangle है ये दोनों triangle मिलके इस parallelogram को बना रहे है��

यहनिकि ABFD को, ठीक तो ABFD equal हो जाएगा 2 times of ABD

क्यों? क्योंकि इन दोनों triangles का area तो एकवल है, अब मैं चाह��

ABD plus FBD लिखूं 2 times abd equal equation number 2 same parallelogram equal triangles congruent triangles divide

तो यहाँ पे भी दोनों triangles का area equal होगा, तो यहाँ पे भी area of this parallelogram, यानि कि ABCE equal हो जाएगा

area of triangle ABC अब देखे मैंने ABD और ABC की ही क्यों लिय��

FBD या फिर AEC क्यों नहीं लिखा क्योंकि हमें इन ही दोनों triangles का area equal

प्रूव करना है इसलिए हमने वही दोनों triangles की naming यहां पे ले लि��

अब आप समझ गया होंगे कि ऐसा क्यों किया क्योंकि आपके पा��

ये दोनों parallelograms का area already आपको पता equal है ये इस parallelogram का area 2 times of triangle हो गया है ABD

इस parallelogram का A I equal हो गया 2 times of ABC

अगर हम इन equate करें equation number 2 and 3 को and 1 क��

तो आपको क्या मिलेगा कि ये parallelograms के area तो already equal थे equation 1 स��

अब मैं ABFD की जंगा put कर देता हूँ 2 times of area ABD

ठीक and ABCE की जगा आप पूट कर देता हूँ तू टाइमस अफ एरिया ABC

ये दोनों हमें मिले थे equation 2 and equation 3 में अब जब यहाँ पर आप 2 से 2 cancel करेंग��

तो ultimately आपको मिलेगा that area of triangle ABD is equals to area of triangle ABC

and वही चीज़ हम यहाँ पर प्रूव करना चाह रहे थे कि जब भी आपके पास दो ट्राइंगल्��

जैसे कि यहाँ पे ये दोनों ट्राइंगल्स सेम बेस यानि कि A, B

एंड सेम पैरलल्स यानि कि A, B एंड C, D के बीच में होंगे दो या दो से ज़ादा ट्राइंगल भ��

तो उनका एरिया हमेशा एकवल होगा आप यहाँ पर अगर कोई और triangle भी consider करे��

जो same base और same parallel के बीच में हो तो उसका area भी इन दोनों triangles के equal होग��

यही चीज हम यहाँ पर prove करना चाहरे थे and वही हमने prove कर दिय��

तो इसका simple सा proof है आपको कुछ नहीं इस theorem को prove करने के लि��

theorem 9.1 का use करना है एंड फिर तो बहुत इजी है क्योंकि एक पैललोग्राम क��

डाइगनल उसकी दो congruent triangles में divide करती है तो congruent triangles हैं उनके area equal होग��

equation equate करके आपका result आ जाएगा तो इस तरह की theorem को आप ऐसे prove कर सकते है��

अब यहाँ पे interesting part तब हो जाएगा जब हम problem solve करेंगे क्योंकि वहाँ पे हम देखेंगे कि अगर एक parallelogram और एक triangle मतल Hebrews अगर same base पे हो और same parallel के बीच में हो तो उनके area का अपस में क्या equation रहता ह��

यह हम देखेंगे जब हम problem solve करेंगे ओके गाइस तब तक के लिए आप इन results को याद रखेगा alla